<t->
          Matemtica
          7 Ano 
          Ensino Fundamental

          Edwaldo Bianchini          

          Impresso Braille em 8 partes, 
          na diagramao de 28 linhas por 
          34 caracteres, 6 edio, da 
          Editora Moderna 2006.

          Quarta Parte

          Ministrio da Educao
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa 
          Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro
          RJ -- Brasil
          Tel.: (21) 3478-4400
          Fax: (21) 3478-4444
          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2012 --
<P>
          Matemtica (Ensino 
          Fundamental) 7 ano 
          (C) Edwaldo Bianchini 2006 

          Coordenao editorial: 
          Juliane Matsubara Barroso

          Edio de texto: 
          Dario Martins de Oliveira, 
          Maria Ceclia da Silva 
          Veridiano, Maria 
          Tereza Galluzzi, William Raphael Silva

          Assistncia Editorial:
          Ktia Takahashi, Maria Ceclia Bittencourt Mastrorosa

          Todos os direitos reservados 
          EDITORA MODERNA LTDA.
          Rua Padre Adelino, 758 -- 
          Belenzinho
          So Paulo -- SP -- Brasil
          CEP 01326-010 
          Tel.: (11) 2602-5510
          Fax: (11) 2790-1501
          ~,www.moderna.com.br~,
<P>
                               I
 Sumrio

 Quarta Parte

 CAPTULO 5 -- Inequaes
 1. O que  inequao? ::::: 355
 2. Soluo de uma 
  inequao ::::::::::::::::: 362
 3. Resoluo de 
  inequaes :::::::::::::::: 370
 Propriedades da 
  desigualdade :::::::::::::: 374
 Resolvendo problemas com 
  inequaes :::::::::::::::: 388

 Para saber mais
 Trabalhando com grficos 
  e tabelas ::::::::::::::::: 379

 CAPTULO 6 -- Sistemas 
  de equaes
 1. Equaes com duas
   incgnitas :::::::::::::::: 405
 2. O conceito de par
  ordenado :::::::::::::::::: 407
 Representao geomtrica de 
  pares ordenados ::::::::::: 412
 3. Equaes do 1 grau 
  com duas incgnitas ::::::: 417
 4. Sistemas de equaes do 
  1 grau com duas 
  incgnitas :::::::::::::::: 424
 5. Resoluo de 
  sistemas :::::::::::::::::: 428
 Mtodo da substituio ::::: 428
 Mtodo da adio ::::::::::: 438

 Para saber mais
 Possibilidades e 
  probabilidades :::::::::::: 421
<125>
<tmatemtica 7 ano>
<t+355>
CAPTULO 5 -- Inequaes

1. O que  inequao?

<R+>
 _`[{foto descrita por sua legenda_`]
 Legenda: Para determinar a massa dos gros que esto em um
dos pratos da balana,  necessria a comparao com a
massa dos trs pesos que foram escolhidos como unidade.
<R->

  Considere a massa de cada mamo como x gramas e observe as
situaes apresentadas pelas balanas.

Balana 1:

<R+>
 _`[{figura: Balana em equilbrio. No prato da esquerda h trs mames
e um peso de 100 g; no da direita, um peso de 1.000 g_`]
<R->

  O equilbrio da balana 1 indica uma igualdade de massas que
<P>
 pode ser expressa pela equao 3x+100=1.000.

<126>
Balana 2:

<R+>
 _`[{figura: Balana em desequilbrio. No prato da esquerda, que est alto,
h dois mames e um peso de 100 g; no da direita, um peso de 1.000 g_`]
<R->

  A balana 2 est em desequilbrio. Isso significa que o contedo do prato da esquerda 
menos pesado do que o contedo do prato da direita. Por isso, no podemos escrever uma
igualdade que expresse a situao. Nesse caso, precisamos de uma desigualdade.

  Desigualdade  toda sentena matemtica em que aparece um destes sinais:
 *=* (diferente), *o* (maior), ** (menor), *o=* (maior ou igual) ou *=* (menor ou igual).

  Veja alguns exemplos:
 5+3=10
 83=8+3
 7o5 
 1015 
 2xo=100 
 y=-3
  Considerando a desigualdade a=b, temos: aob ou ab.
  Nos exemplos anteriores, temos: 5+310 e 83o8+3.
  A desigualdade que traduz o desequilbrio da balana 2 :
<R+>
 2x+100<1.000
 2x :> massa dos dois mames
 100 :> peso de 100 g
 1.000 :> peso de 1.000 g
<R->
  Observe que podemos escrever essa mesma desigualdade de outra forma:
1.000o2x+100.
  Note ainda que a letra x representa a massa desconhecida do mamo, 
ou seja, x  uma incgnita.
  A sentena 2x+1001.000  um exemplo de inequao.
<P>
  Inequao  toda sentena matemtica expressa por uma desigualdade
que apresenta uma ou mais incgnitas.

  Veja outros exemplos de inequaes:
 x+5o12
 2x-4=x+2
 x2-5xo=0 
 x+y0
  As duas primeiras inequaes tm uma s incgnita (a letra x) com expoente 1. Elas so
exemplos de inequaes do 1 grau com uma incgnita.
<127>
  As duas ltimas no so inequaes do 1 grau com uma incgnita.
  Assim como as equaes, as inequaes tambm tm dois membros. Vamos analisar isso
considerando a seguinte situao:
  Marly tirou, em dezembro, 6 dias a mais de frias do que havia tirado em julho. No total
(julho e dezembro), foram menos de 20 dias de frias.
  Vamos indicar:
<R+>
  o nmero de dias de frias de julho por y;
  o nmero de dias de frias de dezembro por y+6;
 2y+6 (total).
<R->
  A quantidade de dias de frias de Marly pode ser representada por uma inequao: 2y+620.
  A expresso  esquerda do sinal de desigualdade  chamada de primeiro membro da inequao,
e a expresso  direita do sinal de desigualdade, de segundo membro da inequao.
  Na inequao 2y+620, temos:
  a incgnita  y;
  o primeiro membro  2y+6;
  o segundo membro  20.
  Neste captulo, estudaremos apenas as inequaes do 1 grau com uma incgnita.

<R+>
EXERCCIOS PROPOSTOS

 1- Verifique, entre as sentenas a seguir, quais
so inequaes. Em seguida, identifique em seu caderno
o primeiro e o segundo membro de cada inequao.
 a) 3x-1=10 
 b) 7x10 
 c) x-5=0,25 
 d) 2x-5=x+6 
 e) 7-210
 f) 3x-2x+4
 g) x-15=20
 h) 5x-3o=x+10
 i) 2+9=-#*g

 2- Formule, em cada item, um problema que
possa ser representado pela inequao
apresentada.
 a) 2x+530 
 b) 3x+12ox-8

 3- Escreva em seu caderno, usando o sinal **, a inequao 
que tem como primeiro membro 2x+3 e como segundo membro
x-2. Descubra um nmero inteiro negativo que torne essa sentena verdadeira.
<P>
 4- Em um tringulo, a medida de um lado qualquer  menor
que a soma das medidas dos outros dois.
 a) Escreva em seu caderno trs desigualdades que relacionem
as medidas dos lados do tringulo a seguir.

<F-> 
            A
            _
         ^  _
      ^     _
 B--------#C
<F+>

<R+>
 ^c?{a{b*=7 cm
 ^c?{a{c*=4 cm
 ^c?{b{c*=5 cm 

 b) Verifique se  possvel construir um tringulo
com 6 cm, 8 cm e 12 cm de lado. Justifique sua resposta.
 c) Em um tringulo, dois lados medem 5 cm e 8 cm
respectivamente. Qual  o maior nmero inteiro que 
pode representar a medida do terceiro lado? E o menor?

<128>
2. Soluo de uma inequao
<R->

  Considere a situao a seguir.
  Um departamento de atletismo encomendou x pares de tnis a 50 reais cada par e mais
300 reais de outros materiais esportivos. Foram gastos mais de 1.000 reais e comprados menos
de 20 pares de tnis. Determine as possveis quantidades de pares de tnis encomendados.
  Essa situao pode ser representada pela inequao: 50x+300o1.000.
  A quantidade de pares de tnis encomendados tem de ser um nmero natural. Ento,
precisamos encontrar os nmeros naturais que, colocados no lugar de x, tornam a sentena
verdadeira. Veja:
<R+>
  para x=10, temos:
  50'10+300o1.000
   500+300o1.000
   800o1.000 (falso)
   Por isso, dizemos que 10 no  uma soluo da inequao dada.
<R+>
  para x=12, temos:
  50'12+300o1.000
  600+300o1.000
  900o1.000 (falso)
  Por isso, 12 tambm no  uma soluo da inequao dada.
 para x=14, temos:
  50'14+300o1.000
  700+300o1.000
  1.000o1.000 (falso)
  Ento, 14 no  uma soluo da inequao dada.
 para x=15, temos:
  50'15+300o1.000
  750+300o1.000
  1.050o1.000 (verdadeiro)
  Por isso, dizemos que 15  uma soluo da inequao dada.
<R->

  Qualquer nmero natural maior que 15  soluo dessa inequao. Portanto, os nmeros
naturais que satisfazem a inequao so: 15, 16, 17, 18, 
<P>
  Mas, nas condies dadas, devemos ter x20, pois foram encomendados menos
de 20 pares de tnis. Assim, a quantidade de pares de tnis encomendados pode ter sido
15, 16, 17, 18 ou 19.
<129>
  Veja outro exemplo:
  Verificar se os nmeros -5,2 e -1 so solues da inequao 3x+4=1.
  Substituindo x por -5,2, temos:
 3'-5,2+4=1
 -15,6+4=1
 -11,6=1 (verdadeira)
  Logo, -5,2  uma soluo da inequao dada.
  Substituindo x por -1, temos:
 3'-1+4=1
 -3+4=1
 1=1 (verdadeira)
  Logo, -1  uma soluo da inequao dada.

<P>
<R+>
EXERCCIOS PROPOSTOS

 5- Escreva em seu caderno a inequao associada a cada balana.

 _`[{figura de duas balanas descritas a seguir:
 a) Balana em desequilbrio. No prato da esquerda, 
que est mais alto, h trs cubos de peso x e um peso de 200 g;
no prato da direita, um cubo de peso x e dois pesos: um de 100 g e outro de 500 g.
 b) Balana em desequilbrio. No prato da esquerda, 
que est mais baixo, h 5 cubos de peso x e um peso de 100 g;
no prato da direita, dois cubos de peso x e um peso de 200 g_`]

 6- Verifique se:
 a) 5  soluo da inequao 2x-7o=8;
 b) 3,2  soluo da inequao 4x-5o6.

 7- Determine os nmeros inteiros negativos que
so solues da inequao 2x+3o=x-1.

 8- Indicando as medidas dos lados de um
tringulo por 4x, 2x e 5x e sabendo que o
permetro desse tringulo  menor que 20,
faa o que se pede.
 a) Determine uma inequao que relacione
as medidas dos lados com o permetro do tringulo.
 b) Verifique se o nmero 0,5  soluo dessa inequao.
 c) Verifique se o nmero 2,5  soluo dessa inequao.
 d) Descubra outras duas solues dessa inequao.

 9- Considerando a inequao 4x-513-2x,
verifique entre os nmeros a seguir quais
so solues dela.
 a) 3 
 b) 1,5 
 c) 0 
 d) 4 
<P>
 e) -2
 f) -#,b

 10- Sendo xo20 e x=21, com x racional,
verifique entre as sentenas a seguir quais
so verdadeiras.
 a) x pode ser um nmero negativo.
 b) x pode ser um nmero inteiro.
 c) 20,1 pode ser um valor de x.
 d) 21,1 pode ser um valor de x.

 11- Um nmero  maior que -5 e, ao mesmo
tempo,  menor que 4. Esse fato pode ser
representado usando uma destas notaes:
xo-5 e x4 ou -5x4. Sendo -3x2, quais 
so os valores inteiros que x pode assumir?

 12- Escreva, em seu caderno, uma inequao
para cada item.
 a) Por razes econmicas, os produtos de
uma indstria no devem ser embalados
em menos de 20 unidades por caixa.
<P>
 b) Para que esses produtos fiquem bem
acomodados, no devem ser embalados
em mais de 30 unidades por caixa.
 c) Em cada caixa, pode-se colocar entre
20 e 30 unidades desse produto.

<130>
 13- Associe a cada situao a seguir uma sentena matemtica.
 a) Somando um nmero inteiro a 7, o resultado
 menor ou igual ao dobro desse nmero.
 b) Juliana gastou R$75,00 com a compra
de trs camisetas de mesmo valor.
 c) Um nmero racional  maior ou igual a
-5 e menor que 7.
 d) Um dos lados de um terreno de formato
retangular  5 metros maior que o outro, 
e seu permetro  maior que 1.000 metros.
 e) O salrio de Jlia no  R$1.500,00.

 14- Um feirante, aps ter vendido x meles a
R$3,00 cada, vendeu os restantes por um
total de R$70,00. Depois de vender todos
os meles, ele obteve mais de R$100,00.
 a) Represente essa situao por meio de uma inequao.
 b) Verifique se 10  soluo dessa inequao.
 c) Verifique se 11  soluo dessa inequao.
 d) Qual  a quantidade de meles que ele deve ter vendido a R$3,00?

 15- Uma empresa tem a opo de embalar seu
produto em dois tipos de caixa, A e B: na
caixa do tipo A, a empresa tem a opo
de embalar entre 20 e 30 unidades de seu
produto e, na caixa do tipo B, tem a opo
de embalar entre 15 e 20 unidades.
Sabendo que, para esse ms, h  disposio
da empresa somente 100 unidades de cada 
<P>
  tipo de caixa, responda em seu caderno:
 a) Qual  a quantidade mxima de produtos
que a empresa poder embalar nesse ms? 
E qual  a quantidade mnima?
 b) Represente por meio de uma inequao
a quantidade de produtos que a empresa
poder embalar nesse ms.
 c) A empresa poder embalar 5.001 produtos
nesse ms? E 4.896 produtos? Justifique sua resposta.
 d) Se, para o prximo ms, foram encomendadas
150 caixas de cada tipo, qual  a quantidade mxima de produtos
que a empresa poder embalar? E a
quantidade mnima?

3. Resoluo de inequaes
<R->

  No exemplo a seguir, vamos descobrir quais
so as possibilidades para a massa do pssego,
indicada pela letra x.
<P>
<R+>
 _`[{figura: Balana em desequilbrio. No prato da esquerda, 
que est mais baixo, h dois pssegos de x gramas cada, 
e um peso de 10 g; no prato da direita, um peso de 10 g, 
um pssego e dois pesos: um de 10 g e outro de 50 g_`]
<R->

  A balana est em desequil-
 brio: o prato da esquerda est com a maior massa. A inequao
correspondente : 2x+10ox+10+50.
<131>
  Vamos retirar um pssego de x gramas de cada prato.

<R+>
 _`[{figura: Balana em desequilbrio. No prato da esquerda, 
que est mais baixo, h um pssego de x gramas e um de 10 g; 
no prato da direita, dois pesos: um de 10 g e outro de 50 g_`]
<R->

  A balana continua em desequilbrio, e o
prato da esquerda ainda  o que tem maior massa. A 
<P>
 inequao correspondente : x+10o10+50.
  Agora vamos retirar um peso de 10 gramas de cada prato.

<R+>
 _`[{figura: Balana em desequilbrio. No prato da esquerda, 
que est mais baixo, h um pssego de x gramas; 
no prato da direita, um peso de 50 g_`]
<R->

  Nessa situao, o desequilbrio da balana
 o mesmo: o prato da esquerda continua com
maior massa. A inequao correspondente : xo50.
  As inequaes obtidas em cada passo so equivalentes, ou seja, elas tm as mesmas solues.
Assim, a massa de cada pssego  maior que 50 gramas.
  A resoluo de inequaes do 1 grau com uma incgnita  feita procedendo-se de maneira
semelhante  resoluo de equaes, ou seja, transformando-se cada inequao em uma
inequao equivalente 
<P>
 mais simples, at que se obtenham as possveis solues.

<R+>
EXERCCIOS PROPOSTOS

 16- Desenhe, em seu caderno, cada etapa com
os esquemas das balanas e encontre a maior
massa possvel de cada cubinho, em grama,
expressa por um nmero inteiro.

 _`[{figura: Balana em desequilbrio. No prato da esquerda, que est mais alto, 
h trs pesos de x gramas cada e um peso de 5 g; no prato da direita, 
dois cubos de x gramas cada e dois pesos: um de 5 g e outro de 10 g_`]

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<P>
Pense mais um pouco...
<R->

  Em um grupo de 9 bolinhas, uma delas difere das outras apenas por ser um pouco
menos pesada. Usando uma balana de dois pratos, descubra qual bolinha tem menor
massa fazendo apenas duas pesagens. Descreva em seu caderno o procedimento que
voc utilizou.

Propriedades da desigualdade

  Na resoluo de inequaes, vamos aplicar as propriedades
da desigualdade que veremos a seguir.
  Inicialmente vamos estabelecer que:
<R+>
  os sinais ** e ** tm o mesmo sentido;
  os sinais ** e *o* tm sentidos opostos;
  os sinais *o* e *o* tm o mesmo sentido;
  os sinais *o* e ** tm sentidos opostos.
<R->

<132>
<P>
  Veja o que acontece com o sentido de uma desigualdade quando somamos um mesmo
nmero a seus dois membros.
<R+>
 a) Se 8>3, ento
8+2>3+2 (10>5)
  Somamos +2 aos dois membros da desigualdade
 b) Se -8<5, ento
-8-2<5-2 `(-10<3)
  Somamos -2 aos dois membros da desigualdade
<R->

  Observe que o sentido das desigualdades no foi alterado.

  Uma desigualdade no muda de sentido quando adicionamos ou subtramos
um mesmo nmero a seus dois membros.

  Agora veja o que acontece quando multiplicamos ou dividimos os dois membros de uma
desigualdade por um nmero positivo.
<P>
<R+>
 a) Se -85, ento -8'25'2 -1610
  Multiplicamos os dois membros por 2
 b) Se -129, ento -12393 -43)
  Dividimos os dois membros por 3
<R->

  Note que o sentido das desigualdades tambm no foi alterado.

  Uma desigualdade no muda de sentido quando multiplicamos ou dividimos
seus dois membros por um mesmo nmero positivo.

  Veja, ainda, o que acontece quando multiplicamos ou dividimos os dois membros de uma
desigualdade por um nmero negativo.
<R+>
 a) Se 8o3, ento 8'-2)3'-2) -16-6)
  Multiplicamos os dois membros por -2
 b) Se -129, ento -12-3)o9-3) 4o-3)
<P>
  Dividimos os dois membros por -3
<R->
 
  Observe que, nesse caso, a desigualdade mudou de sentido.

  Uma desigualdade muda de sentido quando multiplicamos ou dividimos seus
dois membros por um mesmo nmero negativo.

<133>
  Vamos, como exemplo, resolver a inequao 5x+3o2x-14, sendo x um nmero racional.
  Aplicando as propriedades das desigualdades, temos: 
<R+>
 5x+3>2x-14

  Somamos -3 aos dois membros

 5x+3-3>2x-14-3

  Reduzimos os termos semelhantes

 5x>2x-17

  Somamos -2x aos dois membros

 5x-2x>2x-17-2x

  Reduzimos os termos semelhantes

 3x>-17

  Dividimos os dois membros por 
 3

 3x3>-173
 x>-173
<R->

  Logo, qualquer nmero racional maior que -173 satisfaz essa inequao.
  Se quisssemos determinar os nmeros inteiros negativos que satisfazem a inequao dada,
teramos de encontrar todos os nmeros inteiros negativos que so maiores que -173.

_`[{reta numrica no adaptada_`]

  Portanto, os nmeros inteiros negativos maiores que -173 so -5, -4, -3, -2 e -1.

<P>
Para saber mais

Trabalhando com grficos e 
  tabelas

  Leia o texto a seguir.

  A fauna brasileira  uma das mais ricas do mundo, juntamente
com as da Colmbia e da Indonsia, pases que, como o Brasil,
fazem parte da lista das naes consideradas megadiversas, responsveis
por 70% da biodiversidade do planeta. [...] No pas,
ocorrem 13% de todas as espcies de anfbios descritos no mundo,
10% de todos os mamferos, 18% de todas as borboletas e 21% de
todos os peixes de guas continentais do mundo.

<134>
<P>
  Veja, no grfico a seguir, a distribuio de algumas espcies de 
animais brasileiros segundo a classe a que pertencem:

<R+>
 _`[{grfico *Distribuio de algumas espcies brasileiras de animais segundo a classe a que pertencem*. 
No eixo horizontal esto os Grupos de animais; no vertical, a quantidade de espcies_`]
 Legenda: 
 mm -- mamferos
 rp -- rpteis
 an -- anfbios
 av -- aves
 px -- peixes
<R->
<P>
<F->
                        2.800
                          
                  1.762    
             776       
 654                 
     641           
                  
::gg::::gg::::gg::::gg::::gg:
  mm    rp    an    av    px  
<F+>
<R+>
 _`[{fim do grfico_`]

 Elaborado com dados obtidos em: PAGLIA, Adriano. Fauna. *in: Almanaque Brasil
socioambiental*. So Paulo: ISA, 2008.
<R->

  Alguns estudos estimam que a diversidade do Brasil deve atingir o impressionante valor
de 1,8 milho de espcies. Desse total, a cincia conhece menos de 10% da diversidade estimada
para o pas. Para ter uma ideia dessa diversidade oculta, em pouco mais de dez anos
foram descritas 18
<P>
 novas espcies de mamferos e 19 espcies de aves.

<R+>
 Fonte: PAGLIA, Adriano. Fauna. *in: Almanaque Brasil 
socioambiental*. So Paulo: 
  ISA, 2008.
<R->

  Voc j aprendeu que os mesmos dados podem ser organizados de maneiras diferentes.
Por exemplo, os dados apresentados no grfico da reportagem anterior poderiam ser organizados
em forma de tabela ou em forma de texto ou, ainda, em forma de grfico de barras.
  Veja como ficariam esses dados se dispostos em forma de tabela:
<P>
<F->
!::::::::::::::::::::::::::::::::
l Distribuio de algumas esp- _
l   cies brasileiras de animais  _
l   segundo a classe a que       _ 
l   pertencem                    _
r:::::::::::::::::::::::::::::::w
l classes de    _ quantidades de _
l animais       _ espcies       _
r:::::::::::::::w::::::::::::::::w
l Mamferos    _ 654           _
l Rpteis      _ 641           _
l Anfbios     _ 776           _
l Aves         _ 1.762         _
l Peixes       _ 2.800         _
h:::::::::::::::j::::::::::::::::j
<F+>

<R+>
 Elaborado com dados obtidos em: PAGLIA, Adriano. Fauna. *in: Almanaque Brasil
socioambiental*. So Paulo: ISA, 2008.

Agora  com voc!

 1. Responda s questes a seguir em seu caderno.
 a) Entre as classes de animais presentes no grfico, em qual delas h o maior nmero
de espcies? E o menor nmero?
 b) Se somarmos a quantidade de espcies de mamferos, rpteis e anfbios, o valor
encontrado superar o nmero de espcies de peixes?
 c) Sabendo que 5,5% das espcies de peixes da fauna brasileira esto ameaadas
de extino, determine quantas espcies esto nessa situao.
 d) Escreva um texto que organize os dados apresentados no grfico da reportagem
sobre a fauna brasileira.

<135>
 2. Leia a reportagem a seguir e faa o que se pede em seu caderno.
<R->

  O metr da cidade de So Paulo est entre os
11 maiores do mundo. Atualmente, com suas
quatro linhas e 61,3 km de extenso, o metr
transporta, por ano, cerca de 9,9 milhes de
passageiros por quilmetro de linhas.
  Veja no grfico a seguir quais so as outras
dez maiores redes de metr do mundo e a quantidade
de passageiros transportados por essas
redes, em um ano, por quilmetro de linha.

<R+>
 _`[{grfico *Quantidade de passageiros transportados, em um ano, por quilmetro de linha 
(em milhes)* adaptado em 2 colunas: Cidade -- Quantidade de passageiros.
 So Paulo -- 9,9
 Moscou -- 8,6
 Xangai -- 7
 Cidade do Mxico -- 6,9
 Paris -- 6,6
 Hong Kong -- 4,9
 Santiago -- 3,9
 Nova York -- 3,1
 Berlim -- 3
<P>
 Madri -- 2,8
 Londres -- 2,2_`]

 Elaborado com dados obtidos em: TAVARES, Bruno; MACHADO, Renato.
SP tem metr mais lotado do mundo, *O Estado de S. Paulo*, C1, 8 set. 2008.

 a) Quais so as 11 maiores redes de metr do mundo? Quantos milhes
de passageiros por ano so transportados, por quilmetro de linha,
em cada uma dessas redes?
 b) Sabendo que a extenso do metr de Nova York  479 quilmetros,
qual  a cidade que mais transporta passageiros em um ano: So Paulo ou Nova York?
<P>
 c) Construa uma tabela representando os dados indicados no grfico.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 d) Escreva em seu caderno um texto que organize os dados apresentados no grfico.

 3. Pesquise em jornais, revistas ou na internet uma reportagem que traga
informaes organizadas em grfico. Escreva um texto que organize os
dados apresentados nesse grfico. Em seguida, mostre seu texto a um
colega, troque-o com ele e construa uma tabela com dados apresentados
no texto de seu colega. Mostre sua tabela ao colega e verifiquem
se os dados organizados esto corretos. Caso haja 
<P>
  alguma divergncia, conversem sobre o que pode ter acontecido.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<136>
Resolvendo problemas com 
  inequaes
<R->

  Vejamos alguns exemplos de resolues de inequaes.

Exemplo 1

  Alex depositou no tanque de piscicultura de seu stio 2.500 tilpias e, com isso, ficou
com uma quantidade maior que o triplo do que possua. Quantas tilpias havia, no
mximo, anteriormente no tanque?
  Vamos indicar por x a quantidade de tilpias que havia inicialmente no tanque. Note que
x tem de ser um nmero natural.
  Dessa forma, podemos representar a situao pela inequao x+2.500o3x, sendo x um
nmero natural.
  Resolvendo essa inequao, podemos responder  questo.
 x+2.500o3x

  Somamos -x aos dois membros

 x+2.500-xo3x-x

  Reduzimos os termos semelhantes

 2.500o2x
  
  Dividimos os dois membros por 2

 2.5002o2x2
 1.250ox

  Como 1.250  maior que o nmero de tilpias que havia inicialmente no tanque e x tem
de ser um nmero natural, conclumos que havia no mximo 1.249 tilpias nesse tanque.

<P>
Exemplo 2

  Vamos determinar os nmeros inteiros que so solues da inequao 2x-5)o=3x-4).
 2x-5)o=3x-4)

  Aplicamos a propriedade distributiva

 2x-10o=3x-12 

  Somamos +10 aos dois membros

 2x-10+10o=3x-12+10

  Reduzimos os termos semelhantes

 2xo=3x-2 

  Somamos -3x aos dois membros

 2x-3xo=3x-3x-2 

  Reduzimos os termos semelhantes

 -xo=-2 

  Dividimos os dois membros por -1. Como dividimos por um nmero negativo, 
a desigualdade muda de sentido

 -x-1=-2-1
 x=2

  Logo, qualquer nmero inteiro menor ou igual a 2  soluo dessa inequao.

<137>
Exemplo 3

  Vamos resolver a inequao ?x-3*3+?2x-1*212 sabendo que x  um nmero natural.
 ?x-3*3+?2x-1*212

  Reduzimos ao mesmo denominador

 2x-3)6+32x-1)6726

  Multiplicamos os dois membros por 6

 2x-3)+32x-1)72

  Aplicamos a propriedade distributiva

 2x-6+6x-372

  Reduzimos os termos semelhantes

 8x-972

  Somamos 9 aos dois membros

 8x-9+972+9
 8x81

  Dividimos os dois membros por 8

 8x8818
 x818

  Dividindo 81 por 8, temos: 818=10 resto 1.
  Ento, 818  um nmero entre 10 e 11. Logo, os nmeros naturais menores que 818
so 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10.

<R+>
EXERCCIOS PROPOSTOS

 17- Copie as afirmaes falsas em seu caderno, tornando-as verdadeiras.
 a) Se 9o2, ento 9+5o2+5.
 b) Se 9o2, ento 9'22'2.
 c) Se 9o2, ento 9-22-2.
 d) Se -3o-5, ento -3'-1)-5)'-1).
 e) Se 2x+58, ento 2x3.

 18- Resolva as inequaes em seu caderno.
 a) x+512, sendo x um nmero natural.
 b) 2x-3o12, sendo x um nmero racional.
 c) 3x-4o5x-10, sendo x um nmero inteiro.
 d) 4x+3x-18, sendo x um nmero natural.
<P>
 19- Encontre as solues da inequao
5x+2=3x-15 nos seguintes casos:
 a) quando x  um nmero racional;
 b) quando x  um nmero inteiro;
 c) quando x  um nmero natural.

 20- Resolva a inequao 92x+1)o=35x-2)
sabendo que x  um nmero inteiro negativo.

 21- Resolva, em seu caderno, as inequaes,
sendo x um nmero racional.
 a) 4x+3)o2x-1)
 b) 3x+2)o22x+4)
 c) 5x-x-2)=6
 d) 7x-2)23x+4)
 e) x-2x-3)=x+5

<138>
 22- Observe os polgonos a seguir e faa em
seu caderno o que se pede.
<P>
 a) O permetro do polgono a seguir  menor
que 24 cm. Quais so os possveis valores de x?

<F->
               2x 
   x  ~^cccccccccccc
  ~^                _
x _                  _ 3 cm
  _                  _
  ^~                _
   x  ^~------------#
               2x
<F+>

 b) No polgono a seguir, sabe-se que x 
maior que 4 e que o permetro  menor
que 32. Quais so os possveis valores
inteiros de x?

<F->
       x     x      
   _ ^~       ~^ _
   _     ^~~^     _ 
5 _               _ 7
   _               _
   _---------------#
          9
<F+>

 23- Faltavam 50 reais para que o salrio de
Juliano fosse o dobro do salrio de Carlos.
Depois dos trs primeiros meses de experincia,
Carlos teve um aumento de 300 reais e, com isso, 
seu salrio tornou-se maior que o de Juliano.
Para responder s questes a seguir em
seu caderno, desconsidere os centavos.
 a) Quantos reais, no mximo, ganhava Carlos?
 b) Quantos reais , no mximo, o salrio de Juliano?

 24- Dada a inequao 2x+3)=4x-1), encontre:
 a) os nmeros naturais menores que 8 que sejam solues;
 b) o menor nmero inteiro de trs algarismos que seja soluo.

 25- Um bloco retangular tem 15 cm de comprimento,
12 cm de largura e 5 cm de altura.
Paulo deseja construir outro bloco, com a
mesma largura e a mesma altura daquele,
porm com mais de 1.200 cm3 de volume.
Quantos centmetros, no mnimo, deve ter o
comprimento desse outro bloco? (As medidas
so expressas em nmeros inteiros.)
 26- De um garrafo contendo 10 litros de caldo
de cana, at quantos copos com capacidade
de 0,25 litro podem ser retirados de modo que restem mais de 3 litros?
 27- Quantos litros de gasolina, no mnimo, preciso ter no tanque
do meu carro para percorrer mais de 700 quilmetros sem abastecer se
meu carro percorre 12 quilmetros com 1 litro de gasolina?
 28- Meu pai tem 25 anos a mais que eu. Hoje o triplo da minha
idade mais a idade de meu pai  maior que a idade do meu av.
Sabendo que meu av tem 65 anos, qual  a idade mnima de meu pai hoje?

 29- Ao folhear um livro antigo de enigmas, Carlos se deparou com estes:

 "Minha idade, em anos, no  o triplo de 15, no 
menor que o dobro de 20 mais 3 nem maior que a
metade de 92 menos 1. Qual  minha idade se ela 
representada por um nmero natural?"
 "Dentro de uma caixa, o nmero de bolas  maior
que o triplo de 7 menos 1 e menor que a quinta parte
de 105. Quantas bolas h nessa caixa?"
 "O nmero de irmos de Reginaldo  maior que
o triplo de 2 menos 3, menor que a metade de
12 mais 2 e diferente de 5. Qual  exatamente o nmero
de irmos de Reginaldo?"

 a) Resolva esses trs enigmas em seu caderno.
 b) Carlos resolveu os trs enigmas e afirmou
que somente um deles tem soluo. Carlos est correto? 
Justifique sua resposta.
 c) Redija um texto em seu caderno explicando
como voc fez para resolver cada um desses enigmas.

<139>
 30- Determine o oposto do menor nmero
inteiro que  soluo da inequao:
x-27o3+x2

 31- Considere x-13ox2+14, com x racional,
e responda s questes em seu caderno.
 a) O nmero 2  soluo? Por qu?
 b) Existe algum nmero negativo que seja soluo? Por qu?

 32- Considere as inequaes:
 I. ?x+3*3-1?2x+1*2
 II. ?3x-4*2-?x+3*4ox2
 Adicionando os cinco primeiros nmeros
inteiros que so solues da inequao I
com os cinco primeiros nmeros inteiros
<P>
  que so solues da inequao II, que nmero obtemos?

 33- Joana resolveu a inequao ?x-1*2-?4-x*41.

 ?x-1*2-?4-x*41
 ?2x-2*4-?4-x*41

 2x-2-4-x4
 2x-x4+4+2

 x10

 Conferindo o resultado, ela percebeu que havia errado. Ao en-
  contrar o erro, arrumou-o e obteve a soluo correta.
 a) Que maneira ela pode ter escolhido para conferir o resultado?
 b) Descubra qual foi o erro de Joana.
 c) Qual foi a soluo que Joana encontrou quando acertou?

<P>
Pense mais um pouco...
<R->

  Digitei todo o trabalho do meu grupo no computador. Imprimi cada folha sem usar o
verso. Cada um dos demais membros do meu grupo deu 3 folhas, e ainda tive de colocar
mais 1 folha. Assim, usamos menos de 13 folhas no trabalho todo. Quantos eram os
membros do meu grupo?

<R+>
EXERCCIOS COMPLEMENTARES

 34- Entre os nmeros -3, 0 e 3 quais so
solues da inequao 5x-22x+3?

 35- Determine, em seu caderno, os nmeros
racionais que satisfazem as inequaes:
 a) 4x+3)o2x-1)
 b) x-2x-3)=x+5
 c) 2+53x+1)o0
<P>
 36- A quantidade de CDs que eu tenho  o
qudruplo da quantidade de CDs que meu
irmo tem subtrada de 5. Juntos, temos
no mximo 10 CDs. Quantos CDs pode ter meu irmo?
 37- Emendando dois pedaos de barbante,
obtm-se mais de 1 m. O comprimento
do pedao menor, em centmetro,  representado
por um nmero inteiro. O pedao maior tem 20 cm
a mais que o menor. Qual  o comprimento mnimo,
em centmetro, do barbante menor?
 38- Existe algum nmero racional maior que
-4 que seja soluo da inequao ?x-2*3+2xo=
o=5x2? Justifique sua resposta.

<140>
 39- Resolva as inequaes, em seu caderno,
sabendo que x  um nmero racional.
 a) 2+3x5=x+12
 b) 2x3+12x4-32
 c) 2-?x-2*4o3+?x-3*3

 40- Quais nmeros inteiros menores que 10 
satisfazem a inequao 5-x2=x3+1?
 41- Um tonel tem 100 litros de azeite. Quantas
garrafas de 0,9 litro  possvel encher, no
mximo, de modo que ainda sobrem mais
de 10 litros no tonel?
 42-  aula de informtica, faltaram 2 meninos.
Ainda assim, nessa aula o nmero de meninos 
era maior que o nmero de meninas. Sabendo-se
que havia 10 meninas na classe, qual  o menor
nmero possvel de alunos dessa classe?
 43- Ao final de uma prova de Matemtica
realizada para selecionar os alunos que
participaro de uma Olimpada de Matemtica,
Marcos comenta com sua amiga Alessandra:
 -- Eu fui muito bem. Pelo gabarito que
est afixado no quadro de avisos, acertei 75 questes. E voc?
 Alessandra responde:
 -- Eu, infelizmente, no fui nada bem.
Mesmo que tivesse acertado o dobro do
que acertei, ainda precisaria de mais
3 acertos para superar o nmero de pontos que voc obteve.
 Qual foi a quantidade mnima de pontos
que Alessandra obteve?
 44- Preciso cercar um terreno com a forma de
um quadriltero para fazer uma horta. O
permetro do terreno  maior que 120 metros.
Dois dos lados tm a mesma medida.
O terceiro mede a metade da medida de
um dos outros lados de mesma medida.
O quarto lado tem 20 metros. Todos os
lados tm medidas expressas por nmeros
inteiros. Nessas condies, qual  a
quantidade mnima de metros de arame
necessria para cercar esse terreno com
duas voltas?

               oooooooooooo

<P>
<141>
CAPTULO 6 -- Sistemas de equaes

1. Equaes com duas incgnitas
<R->

  Considere a seguinte manchete de jornal: 

  "Na ltima rodada do Campeonato Brasileiro de Futebol de 2008, o jogo entre
Sport Recife (PE) e Coritiba (PR) terminou com 7 gols marcados."

  Com a informao da manchete, no  possvel saber quantos gols
cada equipe marcou. Desse modo, representando por x a quantidade
de gols marcados pelo Sport Recife e por y a quantidade de gols marcados
pelo Coritiba, podemos escrever a equao: x+y=7 (equao com duas incgnitas: x e y).
  Observe no quadro a seguir os possveis resultados desse jogo, de acordo com a manchete:
<P>
<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::::
l Gols marcados _ Gols marcados_
l pelo Sport    _ pelo Coritiba_
r::::::::::::::::w:::::::::::::::w
l 7             _ 0            _
l 6             _ 1            _
l 5             _ 2            _
l 4             _ 3            _
l 3             _ 4            _
l 2             _ 5            _
l 1             _ 6            _
l 0             _ 7            _
h::::::::::::::::j:::::::::::::::j
<F+>

<142>
  Nesse caso, dizemos que os pares de nmeros `(7,#j, `(6,#a, `(5,#b, `(4,#c, `(3,#d, `(2,#e, `(1,#f e `(0,#g
so solues da equao x+y=7, em que x e y so nmeros naturais.
  Os pares de nmeros considerados solues da equao do problema so chamados de
pares ordenados.
  Neste captulo, vamos estudar um pouco mais sobre os pares ordenados, alm de resolver problemas 
<P>
 que envolvem equaes do 1 grau com duas incgnitas.

2. O conceito de par ordenado

  A figura a seguir representa um condomnio residencial formado por cinco prdios de apartamentos,
cada um com cinco andares, sendo um apartamento por andar.

<R+>
 _`[{na representao a seguir os prdios esto na posio vertical_`]
<R->

<F->
andar 5 r::::::{g:::{c
         l         
andar 4 r::::::::::::{e
         l            
andar 3 r:{a:::::::::
         l          
andar 2 r:::::::::::::{f
         l             
andar 1 r::::{b:::{d::::::
:::::::::h:gg:::gg:::gg:::gg:::gg:
           1   2   3   4   5 
<F+>

<P>
  Veja como podemos localizar um apartamento desse conjunto:
<R+>
  O apartamento A est situado no prdio 1, andar 3; 
o que pode ser indicado pelo par de nmeros `(1,#c.
  O apartamento B est situado no prdio 2, andar 1; 
o que pode ser indicado pelo par de nmeros `(2,#a.
  O apartamento C est situado no prdio 3, andar 5; 
o que pode ser indicado pelo par de nmeros `(3,#e.
  O apartamento D est situado no prdio 3, andar 1;
o que pode ser indicado pelo par de nmeros `(3,#a.
<R->
  Observe que os pares `(1,#c e `(3,#a indicam apartamentos diferentes. O primeiro corresponde
ao apartamento A, enquanto o segundo corresponde ao apartamento D. Isso nos leva
a concluir quanto  importante a ordem dos nmeros em pares assim considerados.
<143>
<P>
  Acompanhe outro exemplo em que a ordem dos nmeros  importante.

<R+>
Cruzando palavras

 Horizontais: 
 1. Unidade de medida de massa
 2. Por dois pontos passa uma s
 3. Socorro
 4. Osso do esqueleto humano
 5. Caminhar
 6. Lodo

 Verticais:
 1. Unidade de medida de ngulo
 2. Nota musical -- dez centenas
 3. Todo cubo tem (palavra invertida)
 4. Faltou o *i* para ser maior
 5. Parte do sapato em contato com o solo
<R->
<P>
<F->
     1   2   3   4   5
   !::::::::::::::::::::
1 l G _ R _ A _ M _ A _
   r::::w::::w::::w::::w::::w
2 l R _ E _ T _ A _  _
   r::::w::::w::::w::::w::::w
3 l A _  _ S _ O _ S _
   r::::w::::w::::w::::w::::w
4 l U _ M _ E _ R _ O _
   r::::w::::w::::w::::w::::w
5 l  _ I _ R _  _ L _
   r::::w::::w::::w::::w::::w
6 l  _ L _ A _ M _ A _
   h::::j::::j::::j::::j::::j
<F+>

  Considerando o quadro completo, podemos fazer algumas associaes:
 `(2,#c :> T 
 `(4,#a :> U 
 `(5,#e :> L
  Vamos retomar o problema apresentado no incio do captulo. Note que os pares de nmeros
`(7,#j e `(#j,7, por exemplo, representam diferentes resultados para o jogo. O par de nmeros
`(7,#j indica a vitria do 
 Sport Recife por 7 a 0, enquanto o par de nmeros `(#j,7 representa a vitria do Coritiba por 7 a 0.

  Os pares de nmeros em que a ordem dos elementos deve ser respeitada so chamados de pares ordenados.

<R+>
OBSERVAES

 1. Dado o par ordenado `(a,b, dizemos que *a*  o primeiro 
elemento do par e que *b*  o segundo. Veja alguns exemplos:
  no par ordenado `(4,#c, o primeiro elemento  4 e o segundo  3;
  no par ordenado `(-4,#j, o primeiro elemento  -4 e o segundo  zero.
 2. Dois pares ordenados `(a,b e `(c,d so iguais se a=c e b=d. Veja alguns exemplos:
  se `(a,b=`(-4,5, temos a=-4 e b=5;
<P>
  se `(x,y=`(0,#c, temos x=0 e y=3.
<R->

<144>
Representao geomtrica de pares 
  ordenados

  Para fazer a representao geomtrica de pares ordenados, traamos, em um plano, duas
retas numeradas perpendiculares. Ao ponto de interseco entre elas atribumos o par
ordenado 0,#j e o nome origem.
  Chamamos a reta horizontal de eixo x e a reta vertical de eixo y.
  Nessa representao, os pares ordenados so
associados a pontos; por isso, eles so chamados
de coordenadas dos pontos e a representao
recebe o nome de sistema de coordenadas.

<R+>
 _`[{no plano cartesiano, o sentido positivo no eixo  da origem para a direita e no eixo y, da origem para cima_`]
<P>
 Legenda:
 O -- origem 0,#j
 A -- par ordenado 4,#d
<R->

<F->
 y
 l               A
 r:::::::::::::::o
 l               _
 r               _
 l               _
 r               _
 l               _
 r               _
 l               _
o:::w:::w:::w:::w::: x
O
<F+>

  Veja como representamos os pares ordenados `(-5,#d,
 `(1,#b, `(3,-2 e `(-3,-3.

<P>
<R+>
 _`[{no plano cartesiano, o sentido positivo no eixo x  da origem para a direita e no eixo y, da origem para cima_`]
 Legenda:
 A -- par ordenado `(-5,#d
 B -- par ordenado `(1,#b
 C -- par ordenado (3,-2
 D -- par ordenado `(-3,-3
<R->

<F->
{a                  y           
o::::::::::::::::::r
l                   l
l                   r           
l                   l   {b      
l                   r:::o
l                   l   _
l                   r   _
l                   l   _       x
r:::r:::r:::r:::r:::r:::w:::w:::w
        l         o l           _
        l           r           _
        l           l           _
        l           r:::::::::::o
        l           l           {c
       o:::::::::::r
       {d           l
<F+>

<R+>
EXERCCIOS PROPOSTOS

 1- Volte a observar a figura da pgina 407.
Usando um par de nmeros em que o
primeiro indica o nmero do prdio e o
segundo, o nmero do andar, d a posio
dos apartamentos:
 a) E 
 b) F 
 c) G

 2- Determine, em seu caderno, o valor de x
e de y nos pares ordenados:
 a) `(3,#g=`(x,7)
 b) `(x,y=`(0,-#a
 c) `(x,2=`(-3,y
 d) `(x+3,#h=`(5,y
 e) `(3x-1,y+4=`(8,#b

_`[{para as atividades 3 e 4, pea orientao ao professor_`]

 3- Construa um sistema de coordenadas em uma folha de papel
<P>
  quadriculado e represente os seguintes pontos:
 a) A `(-3,#c 
 b) B `(3,-3 
 c) C `(-3,-3
 d) D `(3,#c
 Se unirmos os pontos A, B, C e D por
segmentos, obteremos um polgono. Que polgono  esse?

 4- Indique em seu caderno o par ordenado que representa:

_`[{ilustrao no adaptada_`]

 a) o ponto H; 
 b) o ponto O; 
 c) o ponto F;
 d) o ponto L;
 e) o ponto E;
 f) o ponto M.

 5- Considere o problema apresentado no incio deste
captulo. Represente em um sistema de coordenadas os 
pares ordenados que so solues desse problema. Se
unirmos esses pontos por segmentos, o que poderemos observar?

<145>
3. Equaes do 1 grau com duas 
  incgnitas
<R->

  No incio deste captulo, voc deparou com uma situao que envolvia uma equao com
duas incgnitas: x+y=7.
  Essa equao  uma equao do 1 grau com duas incgnitas.

  Uma equao que pode ser escrita na forma ax+by+c=0, com a=0 e b=0, 
 chamada de equao do 1 grau com duas incgnitas.

  Vamos considerar agora a equao 5x+2y=7, em que x e y so nmeros racionais.
  Trata-se de uma equao do 1 grau com duas incgnitas. Vamos ver um modo de encontrar
uma das solues dessa equao. Para isso, escolhemos um valor qualquer para x e, em seguida,
substitumos esse valor na equao para determinar o valor de y. O par `(x,y ser uma das
solues da equao.
  Vamos, como exemplo, atribuir a x o valor -2:
 5x+2y=7
 5'-2)+2y=7
 -10+2y=7
 2y=7+10
 2y=17
 2y2=172
 y=172
  Portanto, o par -2,#ag2  uma soluo da
equao 5x+2y=7.
  A soluo anterior no  nica. Podemos
atribuir a x outro valor. Por exemplo, atribuindo
a x o valor 1, temos:
 5x+2y=7
 5'1)+2y=7
 5+2y=7
 2y=7-5
 2y=2
 2y2=22
 y=1
  O par 1,#a  outra soluo da equao 5x+2y=7.
<P>
  Como x e y so nmeros racionais, a equao 5x+2y=7 tem infinitas solues.

<R+>
EXERCCIOS PROPOSTOS

 6- Entre os pares ordenados indicados a
seguir, quais so solues da equao
3x+2y=4? Responda no caderno.
 a) `(2,#a 
 b) (2,-1)
 c) #,c,#:b
 d) -#,c,#:d

 7- Considere a equao 4x-2y=6 e faa o
que se pede em seu caderno.
 a) Para que valor de x temos y=7?
 b) Para que valor de y temos x=#,b?
 c) Se uma das solues  o par 1,5;y,
qual  o valor de y nesse caso?

<146>
<P>
 8- Considerando a equao x+y=4, calcule,
em seu caderno, o valor de y, em que:
 a) x=9 
 b) x=-3 
 c) x=2,5

 9- Expresse a situao mostrada na balana
por meio de uma equao do 1 grau com as incgnitas, x e y.

 _`[{figura: Balana em equilbrio. No prato da esquerda h trs
cubos com a letra x escrita na frente e dois cones, com a letra y;
no prato da direita, um peso de 500 g_`]

 Qual  a massa de cada cubo se a massa de cada cone  70 g?

 10- Em uma balana, foram colocadas 2 peras
de mesma massa e 3 laranjas de mesma
massa. A balana marcou 920 gramas.
Chamando de x a massa da pera e de y a
massa da laranja, expresse essa situao
por meio de uma equao.
 11- Joana brincava com dois dados de cores
diferentes quando os deixou cair, simultaneamente,
no cho. Observou o par de nmeros obtidos e 
notou que a soma deles era 8. Ao indicar os nmeros
por x e y, ache a equao correspondente a essa situao.
Em seguida, determine todos os pares possveis
que podem ter sado nos dados.

Para saber mais

Possibilidades e probabilidades
<R->

  Hugo est jogando trilha com sua irm.
Para andar o nmero de casas necessrias
para vencer o jogo na prxima rodada,
ele precisa de uma soma de pelo menos
10 pontos ao lanar dois dados.
  Qual  a probabilidade de Hugo vencer
o jogo na prxima rodada?
  Para calcular a probabilidade de Hugo vencer o jogo na prxima rodada, devemos inicialmente
descobrir todas as possibilidades de soma de nmeros que ele pode tirar nos dados.
  Ao lanar dois dados, Hugo pode tirar os seguintes pares de nmeros:
1,#a, 1,#b, 1,#c, 1,#d, 1,#e, 1,#f, 2,#a, 2,#b, 2,#c, 2,#d, 2,#e, 2,#f,
3,#a, 3,#b, 3,#c, 3,#d, 3,#e, 3,#f, 4,#a, 4,#b, 4,#c, 4,#d, 4,#e, 4,#f,
5,#a, 5,#b, 5,#c, 5,#d, 5,#e, 5,#f, 6,#a, 6,#b, 6,#c, 6,#d, 6,#e e 6,#f.
<147>

<R+>
_`[{pares ordenados circulados: 4,#f, 5,#e, 5,#f, 6,#d, 6,#e e 6,#f_`]
<R->

  Observe que h 36 pares diferentes de nmeros, mas nem todos tm soma igual a 10 ou
maior. Por isso, circulamos os pares de nmeros que satisfazem essa condio. Ento, entre as
36 possibilidades, h somente 6 pares cuja soma de nmeros  igual a 10 ou maior.
  Como h 6 possibilidades em 36 de Hugo obter uma soma igual a 10 ou maior, dizemos que
a probabilidade de Hugo vencer o jogo na prxima rodada : #+cf=#,f.

<R+>
Agora  com voc!

 Considerando o problema de Hugo, responda s questes a seguir em seu caderno.
 a) Supondo que Hugo precise obter nos dados uma soma igual a 8 ou maior, a probabilidade
de ele ganhar o jogo aumenta? Justifique sua resposta.
 b) Se a probabilidade de Hugo vencer o jogo na prxima rodada fosse de 100%, quantas
casas ele precisaria andar?

<P>
4. Sistemas de equaes do 1 
  grau com duas incgnitas
<R->

  Considere a manchete apresentada no incio do captulo e uma segunda manchete, de
outro jornal, sobre a mesma notcia:

  Na ltima rodada do Campeonato
Brasileiro de Futebol de 2008,
o jogo entre Sport Recife (PE)
e Coritiba (PR) terminou com 7 gols marcados.

  O jogo entre Sport Recife (PE)
e Coritiba (PR), da ltima rodada
do Campeonato Brasileiro de Futebol de 2008, 
terminou com a vitria do Sport Recife por um gol de diferena.

  J vimos que somente com a informao da primeira manchete no foi possvel determinar
a quantidade de gols marcados pelas equipes. E o mesmo acontece se considerarmos a informao
apenas da segunda manchete. Mas, se unirmos as informaes apresentadas nas duas
manchetes, poderemos resolver o problema.
<148>
  Para isso, vamos considerar x a quantidade de gols marcados pelo Sport Recife e y a quantidade
de gols marcados pelo Coritiba.
  J vimos que  possvel associar  primeira manchete a seguinte equao: x+y=7, em que x e y so nmeros naturais.
  E que os pares ordenados: 7,#j, 6,#a, 5,#b, 4,#c, 3,#d, 2,#e, 1,#f e 0,#g 
so solues dessa equao.
   segunda manchete, podemos associar a equao: x=y+1, em que x e y so nmeros naturais.
  Observe, no quadro a seguir, alguns dos possveis resultados desse jogo, de acordo com a
segunda manchete:

<P>
<R+>
 _`[{quadro adaptado formado por 3 colunas:
 1 Gols marcados pelo Sport Recife
 2 Gols marcados pelo Coritiba
 3 Pares ordenados_`]
<R->

<F->
!:::::::::::::::::::
l 1 _ 2 _ 3     _
r:::::w:::::w:::::::::w 
l 1  _ 0  _ 1,#j _
l 2  _ 1  _ 2,#a _
l 3  _ 2  _ 3,#b _
l 4  _ 3  _ 4,#c _
l 5  _ 4  _ 5,#d _
l 6  _ 5  _ 6,#e _
l 7  _ 6  _ 7,#f _
h:::::j:::::j:::::::::j
<F+>

  Os pares ordenados 1,#j, 2,#a, 3,#b, 4,#c, 5,#d, 6,#e e 7,#f so, portanto, algumas das solues
da equao x=y+1. Nesse caso, se continussemos a construo do quadro, sempre acrescentando
um gol ao time do Sport Recife, encontraramos infinitas solues para essa equao.
  Note que o nico par ordenado comum s duas situaes  o par 4,#c, pois  o nico em
que a soma dos gols  igual a 7 e que representa a vitria do Sport Recife por um gol de diferena.
Logo, de acordo com essas informaes, podemos afirmar que o 
 Sport Recife venceu o jogo por 4 a 3.
  As equaes x+y=7 e x=y+1 tambm podem ser indicadas por:
 x+y=7
 x=y+1
  Elas constituem um exemplo de sistema de equaes do 1 grau com duas incgnitas.
  O par ordenado 4,#c, que verifica simultaneamente as duas equaes,  a soluo do sistema.
  Veja o que acontece quando representamos, em um mesmo sistema de coordenadas, os pares ordenados
<P>
 que destacamos como solues das duas equaes:

_`[{grfico no adaptado_`]

  Observe que, se trassemos um segmento unindo os pontos que representam as solues
de uma mesma equao, obteramos dois segmentos que se cruzariam no ponto de coordenadas
4,#c, que  a soluo do sistema.

<149>
5. Resoluo de sistemas

  Existem vrios mtodos para resolver um sistema de equaes do 1 grau com duas incgnitas.
Estudaremos os mtodos da substituio e da adio, que so processos algbricos
de resoluo.

Mtodo da substituio

  Esse procedimento consiste em isolar uma das incgnitas em uma das equaes e substituir
a expresso encontrada na outra equao. Veja os exemplos a seguir.

Exemplo 1

  Em uma competio escolar, nas modalidades de voleibol e basquetebol, participaram
32 equipes e 344 atletas. Cada equipe de voleibol inscreveu 12 atletas, e cada equipe de
basquetebol, 10 atletas. Quantas equipes de vlei participaram da competio? 
  Indicando por x a quantidade de equipes de voleibol e por y a quantidade de equipes
de basquetebol, podemos montar o seguinte sistema de equaes do 1 grau com duas incgnitas:
x+y=32 e 12x+10y=344.
  Para resolver esse sistema pelo mtodo da substituio, podemos escolher, por exemplo,
a equao x+y=32 e isolar a incgnita x. Assim temos:
<P>
 x+y=32
 x+y-y=32-y
 x=32-y 

  Agora, substituindo x por 32-y na equao 12x+10y=344, temos:
<R+>
 12x+10y=344
 12'32-y+10y=344 :> Equao com uma incgnita
<R->
<150>

  Ao resolver essa equao, encontramos o valor de y:
384-12y+10y=344

  Reduzimos os termos semelhantes

22y=240

  Multiplicamos os dois membros por 21

2y=40

  Dividimos os dois membros por 2

 2y2=402
 y=20

  Substituindo y por 20 na equao x+y=32, encontramos o valor de x:

 x+y=32
 x+20=32
 x=32-20
 x=12

  Logo, a soluo do sistema  o par ordenado 12,#bj.
  Portanto, 12 equipes de vlei participaram da competio.

Exemplo 2

  Vamos resolver o sistema 2x+y=12 e
x+3y=11 pelo mtodo da substituio.
  Isolando a incgnita y na equao 2x+y=12, temos:
y=12-2x. 

  Substituindo y por 12-2x na equao x+3y=11, encontramos o valor de x:
 x+3y=11
 x+3'12-2x=11 
 x+36-6x=11
 x-6x=11-36
 -5x=-25
 5x=25
 5x5=255
 x=5

  Substituindo x por 5 em y=12-2x, encontramos o valor de y:
 y=12-2x
 y=12-2'5
 y=12-10
 y=2

  Logo, o par 5,#b  a soluo do sistema.

<151>
<R+>
EXERCCIOS PROPOSTOS

 12- Verifique em seu caderno se o par ordenado
5,-3  soluo do sistema: x+y=2 e 3x+2y=9.
<P>
 13- Estas balanas esto equilibradas.

 _`[{duas balanas em equilbrio:
 Balana 1: No prato da esquerda h um mamo; no prato da direita, uma ma e um peso de 100 g.
 Balana 2: No prato da esquerda h um mamo e uma ma; 
no prato da direita, dois pesos de 200 g e dois de 20 g_`]

 a) Chame de x a massa do mamo e de y
a massa da ma. Determine o sistema
de equaes correspondente a essa situao.
 b) Resolva o sistema.
 c) Quantos gramas tem o mamo?

 14- Meu av e meu pai foram pescar. Eles
trouxeram 25 peixes de diversas espcies.
Meu av disse que pescou o qudruplo do
nmero de peixes que meu pai. Quantos
peixes cada um pescou?
<P>
 15- Resolva estes sistemas em seu caderno.
 a) x=5y e x+y=12
 b) x-y=10 e 2x+3y=10
 c) x=y+3 e 4x+y=-3
 d) x+y=3 e 12x-9y=-20
 e) 2x+y=7 e 5x-2y=-5
 f) x-y=4 e 2x-4y=13

 16- Para confeccionar duas alianas, foram
usados 13 gramas de ouro. Sabendo que uma das alianas tem
3 gramas a mais que a outra, faa o que se pede.
 a) Escreva, em seu caderno o sistema
correspondente a essa situao.
 b) Resolva mentalmente o sistema e determine
quantos gramas tem o anel maior.

 17- Resolva as questes a seguir em seu caderno.
 a) Encontre os valores de *a*, *b* e *c* de maneira
que os pares ordenados 1,a, 3,b e
<P>
  5,c sejam solues da equao x+y=6.
 b) Encontre os valores de *l*, *m* e *n* de maneira
que os pares ordenados 1,l,
3,m e 5,n sejam solues da equao x-y=2.
 c) Construa um sistema de coordenadas
em uma folha de papel quadriculado e
represente os pares ordenados dos itens *a* e *b*.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 d) Com base nessa representao, estime o
par ordenado que  soluo do sistema
de equaes x+y=6 e x-y=2.
 e) Resolva esse sistema em seu caderno e
verifique se sua estimativa est correta.

<152>
 18- Em uma fbrica de balas, Leandro e Elizete
embalaram 12.600 g de balas. Leandro embalou
2.400 g a mais que Elizete. Quantos
quilogramas de balas Leandro embalou?
 19- Um terreno retangular tem 84 m de permetro.
O comprimento tem 18 m a mais que
a largura. Qual  a rea desse terreno?
 20- Resolva o problema em seu caderno.
O carro de Lcio pode ser abastecido tanto
com lcool quanto com gasolina, ou com
a mistura dos dois combustveis. Lcio
parou em um posto de combustvel e abasteceu
seu carro com 20 litros de gasolina
e 25 litros de lcool, gastando R$87,50.
Sabendo que o preo do litro da gasolina
 R$1,00 mais caro que o litro do lcool,
calcule o preo do litro do lcool e o da
gasolina nesse posto.
 21- Resolva o problema a seguir em seu caderno.
Eduardo sente-se atrado pela prtica de
dois esportes: natao e jud. Depois de
pesquisar em algumas academias, ele
constatou que a natao exige um gasto
mdio, entre a mensalidade e a conduo,
de R$20,00 por aula, e o jud, um gasto
mdio de R$15,00 por aula. Sabendo que
ele tem disponvel, em seu oramento,
R$360,00 por ms e tempo disponvel para
praticar 20 aulas por ms entre os dois esportes,
determine quantas aulas Eduardo poder fazer de cada um desses esportes.

 22- Considere o sistema de equaes: 2x-2y=2 e x-y=-3.
 Agora faa em seu caderno o que se pede.
 a) Encontre trs pares ordenados que sejam
solues da 1 equao.
 b) Encontre trs pares ordenados que sejam
solues da 2 equao. 
 c) Procure, mentalmente, um par ordenado
que seja soluo das duas equaes.
O que voc encontrou? Registre em seu
caderno suas concluses.
 d) Resolva o sistema e confronte com suas
concluses. O que voc observou?

Pense mais um pouco...
<R->

  Jlia guardou durante um ms, em um cofre, moedas
de 25 e 10 centavos. Ao abri-lo, constatou que possua
210 moedas num total de R$35,70. Quantas moedas
de cada tipo Jlia guardou?

<153>
Mtodo da adio

  Para resolver um sistema pelo mtodo da adio, adicionamos membro a membro as equaes
para anular uma das incgnitas.
  Veja alguns exemplos.

Exemplo 1

  Vanessa comprou uma blusa e uma cala e gastou R$96,00. Sabendo que a cala custa
R$16,00 a mais que a blusa, determine quanto Vanessa pagou em cada pea.
  Indicando por x o preo da blusa e por y o preo da cala,
podemos montar o sistema de equaes:
 y+x=96 
 y-x=16

  Para resolv-lo, vamos adicionar membro a membro as duas equaes:
 y+x=96 
 y-x=16

  Somamos as duas equaes

 2y=112
 2y2=1122
 y=56

  Substituindo y por 40 na equao y+x=96, temos:

 56+x=96
 x=96-56
 x=40

  Portanto, o par 40,#ef  a soluo do sistema.
  Logo, Vanessa pagou R$40,00 pela blusa e R$56,00 pela cala.

Exemplo 2

  Vamos resolver o sistema
 2x+5y=-4 
 3x+4y=1

  Para aplicar o mtodo da adio na resoluo do sistema dado,
devemos multiplicar a 1 equao por -3 e a 2 equao por 2:
 2x+5y=-4 
 3x+4y=1 que implica 
 -6x-15y=12 
 6x+8y=2
<154>

  Somando membro a membro as equaes, temos:
 -6x-15y+6x+8y=12+2
 -7y=14
 7y7=-147
 y=-2
<P>
  Substituindo y por -2 na 1 equao do sistema, temos:
 2x+5y=-4
 2x+5'-2=-4
 2x-10=-4
 2x=-4+10
 2x=6 
 2x2=62
 x=3

  Portanto, a soluo do sistema  o par ordenado (3,-2).

<R+>
EXERCCIOS PROPOSTOS

 23- Resolva, pelo mtodo da adio, os sistemas:
 a) x+y=6 e 2x-y=24
 b) x+2y=5 e x+3y=8
 c) 3x+4y=-5 e x-2y=5
 d) x+3y=6 e -4x+6y=-12

 24- Em um ptio esto estacionados carros
e motos, que totalizam 40 veculos e 140
rodas. H quantas motos estacionadas
nesse ptio?

 25- A soma das idades de dois irmos  29
anos, e a diferena  5 anos. Indique por
x a idade do mais velho e por y a idade do mais novo.
 a) Escreva, em seu caderno, o sistema de
equaes associado ao problema.
 b) Determine a idade de cada um.

 26- Resolva estes sistemas em seu caderno:
 a) 3x+4y=19 e 2x-3y=7
 b) 2x+3y=26 e 3x+2y=24
 c) 3x+5y=-22 e x=y-2
 d) -x=-1-y e x-y=0
 e) -x-y=-1 e 2x+y=3
 f) -5x+y=-2 e -y=x+1

 27- Um carro de motor bicombustvel (lcool
e gasolina) necessita de gasolina para
dar a partida. Toda semana, Pedro gasta
no posto R$62,50 em combustveis. Ele
coloca 5 litros de gasolina no reservatrio
e 40 litros de lcool no tanque. Quanto
Pedro paga por litro de gasolina e por litro
de lcool se o total dos dois combustveis,
por litro,  R$3,75?
<155>
 28- Mauro e Laura colecionam figurinhas. Veja
o dilogo entre eles.
<R->

  -- Se voc me der 3 figurinhas, ficaremos com quantidades iguais. Fala Mauro.
  -- Se voc me der 5 figurinhas, ficarei com o dobro do nmero das suas. Diz Laura.

<R+>
 Quantas figurinhas cada um possui?
 29- Os atletas de um clube foram divididos
em grupos. Para os jogos de futebol, os
grupos so de 11 atletas e, para os jogos
de vlei, os grupos so de 6 atletas. No
total, foram formados 16 grupos. O clube
tem 126 atletas participando dos jogos.
Quantos grupos participaro dos jogos de vlei?
<P>
 30- Uma padaria vende em mdia 2.000 pezinhos
por dia, entre baguetes e bisnagas
(tipos de po), obtendo com essa venda
R$850,00. Quantas baguetes e quantas
bisnagas so vendidas, sabendo-se que cada
baguete custa R$0,40 e cada bisnaga, R$0,50?
 31- Um supermercado apresentou as seguintes ofertas:

 _`[{ofertas adaptadas:
 Oferta 1: Trs chocolates e dois bombons -- R$5,70
 Oferta 2: Dois chocolates e trs bombons -- R$4,70_`]

 Nessa promoo, a quanto est sendo vendido cada bombom?

 32- Resolva em seu caderno.
(Unifor-CE) Paguei R$35,00 por uma
cala e uma camiseta. Se eu tivesse pago
R$8,00 a menos pela cala e R$7,00 a mais pela camiseta, 
<P>
  seus preos teriam sido iguais. Quanto paguei pela cala?
 a) R$25,00 
 b) R$22,00 
 c) R$20,00
 d) R$18,00
 e) R$15,00

 33- Resolva em seu caderno.
(Unirio-RJ) Em um escritrio de advocacia,
trabalham apenas dois advogados e uma
secretria. Como dr. Andr e dr. Carlos
sempre advogam em causas diferentes,
a secretria Cludia coloca 1 grampo em
cada processo de dr. Andr e 2 grampos em
cada processo de dr. Carlos, para diferenci-los
facilmente no arquivo. Sabendo-se
que ao todo so 78 processos, nos quais
foram usados 110 grampos, podemos
concluir que o nmero de processos de dr.
Carlos  igual a:
 a) 64 
 b) 46 
 c) 40
 d) 32 
 e) 28

Pense mais um pouco...
<R->

  Um rapaz est embalando alguns vasos e observa que:
<R+>
  aps colocar 7 vasos em cada caixa, restam
19 vasos fora das caixas;
  tentando colocar 10 vasos em cada caixa,
uma delas fica com 5 vasos a menos do que as outras.
 a) Quantas caixas esse rapaz est usando?
 b) Quantos vasos esto sendo embalados?

<156>
EXERCCIOS COMPLEMENTARES

 34- Veja o cartaz que estava afixado em um teatro:

 _`[{cartaz adaptado_`]
 Teatro
 Adulto: R$20,00
 Crianas (at 12 anos): R$12,00
 _`[{fim do cartaz_`]

 Se, em uma apresentao teatral, foram
vendidos 125 ingressos e arrecadados R$2.140,00, quan-
tas crianas assistiram a essa apresentao?
 35- O permetro do retngulo  28 cm e o do
tringulo  32 cm. Calcule x e y.

<F->
pccccccccccccccccccccc
l                     _
l                     _ y
l                     _
v---------------------#
           x

      
       
 x      x
        
         
----------u 
    3y
<F+>

 36- O permetro do retngulo {a{b{c{d  17,40 cm e o per-
metro do pentgono {a{b{c{e{d  22,60 cm.

<F->
         E 
          
           
            
    x        x
             
              
D ------------u C 
   l            _
 y l            _ y
   v------------#
 A      x      B
<F+>

 Calcule a medida do lado do tringulo {d{c{e.

 37- Indique no caderno a alternativa certa.
(UFMG) Uma prova de mltipla escolha
com 60 questes foi corrigida assim: o
aluno ganhava 5 pontos por questo que
acertava e perdia 1 ponto por questo
que errava ou deixava em branco. Se um
aluno totalizou 210 pontos, o nmero de
questes que ele acertou :
 a) 25 
 b) 30
 c) 35
 d) 40
 e) 45

 38- Resolva o problema em seu caderno.
(Fuvest-SP) Os elementos do par ordenado
x,y, que so a soluo do sistema
2x-y=0 e x-3y=-#?b; tm por soma e produto,
respectivamente, os nmeros:
 a) -2 e #,b
 b) -#;c e #,b
 c) #:b e #,b
 d) #,b e -#:c
 e) #,b e -#;c

 39- Um clube ofereceu a seus associados um
baile de Carnaval. Cada scio titular pagou
R$20,00, e seus dependentes, apenas metade.
Com os 1.200 participantes, o clube
arrecadou R$18.000,00. Qual foi o nmero
de dependentes presente nesse baile?

 40- Resolva no caderno.
  (Unifor-CE) Um pacote tem 48 balas: algumas
de hortel e as demais de laranja. Se
a tera parte do dobro do nmero de balas
de hortel excede a metade do de laranjas
em 4 unidades, ento nesse pacote h:
 a) 20 balas de hortel.
 b) 26 balas de laranja.
 c) duas balas de laranja a mais que de hortel.
 d) igual nmero de balas dos dois tipos.
 e) duas balas de hortel a mais que de laranja.
<P>
<157>
DIVERSIFICANDO

Equaes
<R->

  Os conhecimentos que temos da Matemtica egpcia provm, essencialmente, de dois
textos escritos em papiro: o papiro de Rhind e o papiro de Moscou. Nesses documentos,
encontramos problemas resolvidos, o que revela a preocupao pedaggica, pois muitos
clculos dos papiros so exerccios propostos para jovens estudantes.
  Alguns problemas presentes nesses papiros no mencionam objetos concretos, como
pes. Em vez disso, pedem o que equivale a solues de equaes, na forma x+ax=b, em
que *a* e *b* so conhecidos e x  desconhecido. A incgnita  chamada de "aha".

<R+>
 Responda s questes em seu caderno.
 1. O problema 24 do papiro de Rhind, por exemplo, pede o valor de *aha*, informando
que *aha* mais um stimo de *aha* d 19. Encontre o valor de *aha*.

 2. Escolha uma das equaes a seguir e crie um problema cuja 
resoluo seja atravs da equao que voc escolheu.
 a) 2x+3=5 
 b) 5-x=1
 c) x+2x=3
<R->

Um pouco de mgica

  Siga os passos a seguir e tenha uma surpresa.
<R+>
  Pense em um nmero natural entre 1 e 5.
  Multiplique-o por 2.
  Some 8 ao resultado.
  Divida por 2.
  Subtraia o nmero que voc pensou.
<P>
  Associe esse resultado ao alfabeto. Por exemplo: se o resultado for 1, voc
escolher a letra A; se for 2, escolher a letra B; se for 3, escolher a letra C;
e assim por diante.
  Agora pense no nome de um pas europeu iniciado com a letra escolhida.
  Com a 5 letra do nome desse pas, pense no nome de um mamfero que voa.
 Voc, por acaso, pensou no pas Dinamarca e no animal morcego?

Agora resolva as questes em seu caderno.
 1. Repita o processo descrito anterior, mas escolhendo o nmero racional #,b. 
Qual foi o resultado?
 2. Aplicando o que voc estudou nos captulos anteriores, explique por que o resultado
da conta que voc fez acima sempre ser 4.
<P>
 3. Se uma pessoa pensar em um nmero maior que 5, essa "mgica" funcionar? 
E se for um nmero racional qualquer? Justifique sua resposta.

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Quarta Parte